❶ 2個人分蛋糕怎麼分才最公平
的偏向於邏輯。
如果有一塊蛋糕，有幾個人都有平等的權力可以吃，而且他們都是誠實守信的人，不會進行「地下交易」，也不會仗勢欺人，那麼他們應該怎樣分才最公平？
首先考慮最簡單的情況：2個人分蛋糕。這種情況下，最公平的分法是「我分你選」，由一個人切開蛋糕，另外一個人在2塊蛋糕中選擇一塊，切的人拿剩下的一塊。
那麼再考慮復雜一點的情況：3個人分蛋糕。這種情況比2個人要復雜很多，關鍵是第一塊蛋糕的產生和歸屬。只要有一個人得到一塊蛋糕，那麼剩下的2個人就可以用「我分你選」來分配剩下的蛋糕了。有一位數學家（原文中提到了這位數學家的名字，但是本人沒有記住……其實2個人的方案也是他提出的）提出了最公平的方案：
假設這3個人分別是張三、李四和王五（原文中好像是湯姆之類的外國名字），首先由張三切下一塊蛋糕，然後由李四選擇。李四可以要這塊蛋糕，這樣就到此為止了。也可以動刀切大或者切小蛋糕（如何把切下來的蛋糕粘到另一塊上面的問題我們不討論），當然也可以不切。如果李四沒有選擇這塊蛋糕，那麼選擇權轉到王五身上。如果王五要了這塊蛋糕，那麼同樣到此為止。如果王五不要，那麼就由張三做出選擇。如果張三不要，那麼就要看李四有沒有動刀修改過，如果李四修改過，那麼李四必須無條件收下這塊蛋糕；如果李四沒有修改，那麼這塊蛋糕必須無條件交給張三。而無論在哪一步得出了第一塊蛋糕的歸屬，都可以有剩下的2個人用「我分你選」的方法分配剩下的蛋糕。
如果分蛋糕的人多於3個呢？其實可以用類似於3個的方法來構造方案，當然方案會越來越復雜，但是絕對可以完成……
❷ 分一個蛋糕，問怎樣的分法才公平
事實上，對於兩個人分蛋糕的情況，經典的「你來分我來選」的方法仍然是非常有效的，即使雙方對蛋糕價值的計算方法不一致也沒關系。首先，由其中一人執刀，把蛋糕切分成兩塊；然後，另一個人選出他自己更想要的那塊，剩下的那塊就留給第一個人。由於分蛋糕的人事先不知道選蛋糕的人會選擇哪一塊，為了保證自己的利益，他必須（按照自己的標准）把蛋糕分成均等的兩塊。這樣，不管對方選擇了哪一塊，他都能保證自己總可以得到蛋糕總價值的 1/2 。
不過，細究起來，這種方法也不是完全公平的。對於分蛋糕的人來說，兩塊蛋糕的價值均等，但對於選蛋糕的人來說，兩塊蛋糕的價值差異可能很大。因此，選蛋糕的人往往能獲得大於 1/2 的價值。一個簡單的例子就是，蛋糕表面是一半草莓一半巧克力的。分蛋糕的人只對蛋糕體積感興趣，於是把草莓的部分分成一塊，把巧克力的部分分成一塊；但他不知道，選蛋糕的人更偏愛巧克力一些。因此，選蛋糕的人可以得到的價值超過蛋糕總價值的一半，而分蛋糕的人只能恰好獲得一半的價值。而事實上，更公平一些的做法是，前一個人得到所有草莓部分和一小塊巧克力部分，後面那個人則分得剩下的巧克力部分。這樣便能確保兩個人都可以得到一半多一點的價值。
但是，要想實現上面所說的理想分割，雙方需要完全公開自己的信息，並且要能夠充分信任對方。然而，在現實生活中，這是很難做到的。考慮到分蛋糕的雙方爾虞我詐的可能性，實現絕對公平幾乎是不可能完成的任務。因此，我們只能退而求其次，給「公平」下一個大家普遍能接受的定義。在公平分割 (fair division) 問題中，有一個最為根本的公平原則叫做「均衡分割」 (proportional division) 。它的意思就是， 如果有 n 個人分蛋糕，則每個人都認為自己得到了整個蛋糕至少 1/n 的價值 。從這個角度來說，「你
來分我來選」的方案是公平的——在信息不對稱的場合中，獲得總價值的一半已經是很讓人滿意的結果了。
如果分蛋糕的人更多，均衡分割同樣能夠實現，而且實現的方法不止一種。其中一種簡單的方法就是，每個已經分到蛋糕的人都把自己手中的蛋糕分成更小的等份，讓下一個沒有分到蛋糕的人來挑選。具體地說，先讓其中兩個人用「你來分我來選」的方法，把蛋糕分成兩塊；然後，每個人都把自己手中的蛋糕分成三份，讓第三個人從每個人手裡各挑出一份來；然後，每個人都把自己手中的蛋糕分成四份，讓第四個人從這三個人手中各挑選一份；不斷這樣繼續下去，直到最後一個人選完自己的蛋糕。只要每個人在切蛋糕時能做到均分，無論哪塊被挑走，他都不會吃虧；而第 n 個人拿到了每個人手中至少 1/n 的小塊，合起來自然也就不會少於蛋糕總價值的 1/n 。雖然這樣下來，蛋糕可能會被分得零零碎碎，但這能保證每個人手中的蛋糕在他自己看來都是不小於蛋糕總價值的 1/n 的。
還有一種思路完全不同的分割方案叫做「最後削減人演算法」，它也能做到均衡分割。我們還是把總的人數用字母 n 來表示。首先，第一個人從蛋糕中切出他所認為的 1/n ，然後把這一小塊傳給第二個人。第二個人可以選擇直接把這塊蛋糕遞交給第三個人，也可以選擇從中切除一小塊（如果在他看來這塊蛋糕比 1/n 大了），再交給第三個人。以此類推，每個人拿到蛋糕後都有一次「修剪」的機會，然後移交給下一個人。規定，最後一個對蛋糕大小進行改動的人將獲得這塊蛋糕，餘下的 n - 1 個人則從頭開始重復剛才的流程，分割剩下的蛋糕。每次走完一個流程，都會有一個人拿到了令他滿意的蛋糕，下一次重復該流程的人數就會減少一人。不斷
這樣做下去，直到每個人都分到蛋糕為止。
第一輪流程結束後，拿到蛋糕的人可以保證手中的蛋糕是整個蛋糕價值的 1/n 。而對於每個沒有拿到蛋糕的人來說，由於當他把蛋糕傳下去之後，他後面的人只能減蛋糕不能加蛋糕，因此在他看來被拿走的那部分蛋糕一定不到 1/n ，剩餘的蛋糕對他來說仍然是夠分的。在接下來的流程中，類似的道理也同樣成立。更為厲害的是，在此游戲規則下，大家會自覺地把手中的蛋糕修剪成自認為的 1/n ，耍賴不會給他帶來任何好處。分蛋糕的人絕不敢把蛋糕切得更小，否則得到這塊蛋糕的人就有可能是他；而如果他把一塊大於 1/n 的蛋糕拱手交給了別人，在他眼裡看來，剩下的蛋糕就不夠分了，他最終分到的很可能遠不及 1/n 。
這樣一來，均衡分割問題便完美解決了。不過，正如前面我們說過的，均衡條件僅僅是一個最低的要求。在生活中，人們對「公平」的概念還有很多更不易形式化的理解。如果對公平的要求稍加修改，上述方案的缺陷便暴露了出來。讓我們來看這樣一種情況：如果 n 個人分完蛋糕後，每個人都自認為自己分得了至少 1/n 的蛋糕，但其中兩個人還是打起來了，可能是什麼原因呢？由於不同的人對蛋糕各部分價值的判斷標准不同，因此完全有可能出現這樣的情況——雖然自己已經分到了至少 1/n 份，但在他看來，有個人手裡的蛋糕比他還多。看來，我們平常所說的公平，至少還有一層意思——每個人都認為別人的蛋糕都沒我手裡的好。在公平分割理論中，我們把滿足這個條件的分蛋糕方案叫做免嫉妒分割 (envy-free division) 。
免嫉妒分割是一個比均衡分割更強的要求。如果每個人的蛋糕都沒我多，那我的蛋糕至少有 1/n ，也就是說滿足免嫉妒條件的分割一定滿足均衡的條件。但反過來，滿足均衡條件的分割卻不一定是免嫉妒的。比方說， A 、 B 、 C 三人分蛋糕，但 A 只在乎蛋糕的體積， B 只關心蛋糕上的草莓顆數， C 只關心蛋糕上的巧克力塊數。最後分得的結果是， A 、 B 、 C 三人的蛋糕體積相等，但 A 的蛋糕上什麼都沒有，B 的蛋糕上有一顆草莓兩塊巧克力，C 的蛋糕上有兩顆草莓一塊巧克力。因此，每個人從自己的角度來看都獲得了整個蛋糕恰好 1/3 的價值，但這樣的分法明顯是不科學的—— B 、 C 兩人會互相嫉妒。
之前我們介紹的兩種均衡分割方案，它們都不滿足免嫉妒性。就拿第一種方案來說吧，如果有三個人分蛋糕，按照規則，首先應該讓第一人分第二人選，然後兩人各自把自己的蛋糕切成三等份，讓第三人從每個人手中各挑一份。這種分法能保證每個人獲得至少 1/3 的蛋糕，但卻可能出現這樣的情況：第三個人從第二個人手中挑選的部分，恰好是第一個人非常想要的。這樣一來，第一個人就會覺得第三個人手裡的蛋糕更好一些，這種分法就不和諧了。